## Multiplication tables for groups of small order

### Groups15 Demo

Professor John Wavrik of the University of California at San Diego has written a JAVA applet that allows experimentation with group multiplication tables, for groups up to order 15.

### Multiplication tables for groups of order 2 through 10

Section 7.10 outlines the classification of all groups of order less than 16.

The multiplication tables given below cover the groups of order 10 or less. That is, any group of order 2 through 10 is isomorphic to one of the groups given on this page. The reader needs to know these definitions: group, cyclic group, symmetric group, dihedral group, direct product of groups, subgroup, normal subgroup. The quaternion group is discussed in Example 3.3.7. There are more group tables at the end of Section 7.10.

#### C2, the cyclic group of order 2

Described via the generator a
with relation a2 = 1:

 1 a 1 1 a a a 1

Elements:
order 2: a

Subgroups:
order 2: {1,a}
order 1: {1}

#### C3, the cyclic group of order 3

Described via the generator a
with relation a3 = 1:

 1 a a2 1 1 a a2 a a a2 1 a2 a2 1 a

Elements:
order 3: a, a2

Subgroups:
order 3: {1,a,a2}
order 1: {1}

#### C4, the cyclic group of order 4

Described via the generator a
with relation a4 = 1:

 1 a a2 a3 1 1 a a2 a3 a a a2 a3 1 a2 a2 a3 1 a a3 a3 1 a a2

Elements:
order 4: a, a3
order 2: a2

Subgroups:
order 4: {1,a,a2,a3}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

#### V, the Klein four group

Described via generators a,b
with relations a2 = 1, b2 = 1, ba = ab:

 1 a b ab 1 1 a b ab a a 1 ab b b b ab 1 a ab ab b a 1

Elements:
order 2: a, b, ab

Subgroups:
order 4: {1,a,b,ab}
order 2: {1,a}, {1,b}, {1,ab}
order 1: {1}

#### C5, the cyclic group of order 5

Described via the generator a
with relation a5 = 1:

 1 a a2 a3 a4 1 1 a a2 a3 a4 a a a2 a3 a4 1 a2 a2 a3 a4 1 a a3 a3 a4 1 a a2 a4 a4 1 a a2 a3

Elements:
order 5: a, a2, a3, a4

Subgroups:
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 1: {1}

#### C6, the cyclic group of order 6

Described via the generator a
with relation a6 = 1:

 1 a a2 a3 a4 a5 1 1 a a2 a3 a4 a5 a a a2 a3 a4 a5 1 a2 a2 a3 a4 a5 1 a a3 a3 a4 a5 1 a a2 a4 a4 a5 1 a a2 a3 a5 a5 1 a a2 a3 a4

Elements:
order 6: a, a5
order 3: a2, a4
order 2: a3

Subgroups:
order 6: {1,a,a2,a3,a4,a5}
order 3: {1,a2,a4}
order 2: {1,a3}
order 1: {1}

#### S3, the symmetric group on three elements

Described via generators a,b
with relations a3 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 b ab a2b
1 1 a a2 b ab a2b
a a a2 1 ab a2b b
a2 a2 1 a a2b b ab
b b a2b ab 1 a2 a
ab ab b a2b a 1 a2
a2b a2b ab b a2 a 1

Elements:
order 3: a, a2
order 2: b, ab, a2b

Subgroups:
order 6: {1,a,a2,b,ab,a2b}
order 3: {1,a,a2}
order 2: {1,b}, {1,ab}, {1,a2b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 6: {1,a,a2,b,ab,a2b}
order 3: {1,a,a2}
order 1: {1}

#### C7, the cyclic group of order 7

Described via the generator a
with relation a7 = 1:

 1 a a2 a3 a4 a5 a6 1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a a a2 a3 a4 a5 a6 1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 1 a a3 a3 a4 a5 a6 1 a a2 a4 a4 a5 a6 1 a a2 a3 a5 a5 a6 1 a a2 a3 a4 a6 a6 1 a a2 a3 a4 a5

Elements:
order 7: a, a2, a3, a4, a5, a6

Subgroups:
order 7: {1,a,a2,a3,a4, a5,a6}
order 1: {1}

#### C8, the cyclic group of order 8

Described via the generator a
with relation a8 = 1:

 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 a a3 a3 a4 a5 a6 a7 1 a a2 a4 a4 a5 a6 a7 1 a a2 a3 a5 a5 a6 a7 1 a a2 a3 a4 a6 a6 a7 1 a a2 a3 a4 a5 a7 a7 1 a a2 a3 a4 a5 a6

Elements:
order 8: a, a3, a5, a7
order 4: a2, a6
order 2: a4

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7}
order 4: {1,a2,a4,a6}
order 2: {1,a4}
order 1: {1}

#### C4 x C2, the direct product of a cyclic group of order 4 and a cyclic group of order 2

Described via generators a, b
with relations a4 = 1, b2 = 1, ba = ab:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b ab a2b a3b 1 a a2 a3
ab ab a2b a3b b a a2 a3 1
a2b a2b a3b b ab a2 a3 1 a
a3b a3b b ab a2b a3 1 a a2

Elements:
order 4: a, a3, ab, a3b
order 2: a2, b, a2b
order 1: 1

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a,a2,a3} {1,ab,a2,a3b} {1,a2,b,a2b}
order 2: {1,a2}, {1,b}, {1,a2b}
order 1: {1}

#### C2 x C2 x C2, the direct product of 3 cyclic groups of order 2

Described via generators a,b,c
with relations a2 = 1, b2 = 1, c2 = 1, ba = ab, ca = ac, cb = bc:

1 a b ab c ac bc abc
1 1 a b ab c ac bc abc
a a 1 ab b ac c abc bc
b b ab 1 a bc abc c ac
ab ab b a 1 abc bc ac c
c c ac bc abc 1 a b ab
ac ac c abc bc a 1 ab b
bc bc abc c ac b ab 1 a
abc abc bc ac c ab b a 1

Elements:
order 2: a, b, ab, c, ac, bc, abc

Subgroups:
order 8: { 1, a, b, ab, c, ac, bc, abc }
order 4: {1,a,b,ab}, {1,a,c,ac}, {1,a,bc,abc}, {1,b,c,bc}, {1,b,ac,abc}, {1,ab,c,abc}, {1,ab,ac,bc}
order 2: {1,a}, {1,b}, {1,ab}, {1,c}, {1,ac}, {1,bc}, {1,abc}
order 1: {1}

#### D4, the dihedral group of order eight

Described via generators a,b
with relations a4 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b a3b a2b ab 1 a3 a2 a
ab ab b a3b a2b a 1 a3 a2
a2b a2b ab b a3b a2 a 1 a3
a3b a3b a2b ab b a3 a2 a 1

Elements:
order 4: a, a3
order 2: a2, b, ab, a2b, a3b

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a2,b,a2b}, {1,a,a2,a3}, {1,a2,ab,a3b}
order 2: {1,b}, {1,a2b}, {1,a2}, {1,ab}, {1,a3b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a2,b,a2b}, {1,a,a2,a3}, {1,a2,ab,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

#### Q, the quaternion group (of order eight)

Described via the generators a,b
with relations a4 = 1, b2 = a2, ba = a-1b:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b a3b a2b ab a2 a 1 a3
ab ab b a3b a2b a3 a2 a 1
a2b a2b ab b a3b 1 a3 a2 a
a3b a3b a2b ab b a 1 a3 a2

Elements:
order 4: a, a3, b, ab, a2b, a3b
order 2: a2

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,b,ab,a2b,a3}
order 4: {1,a,a2,a3}, {1,b,a2,a2b}, {1,ab,a2,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,b,ab,a2b,a3}
order 4: {1,a,a2,a3}, {1,b,a2,a2b}, {1,ab,a2,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

Here are several different patterns for the multiplication table of the quaternion group, using the cross product of unit vectors i, j, k:

x +1 -1 +i -i +j -j +k -k
+1 +1 -1 +i -i +j -j +k -k
-1 -1 +1 -i +i -j +j -k +k
+i +i -i -1 +1 +k -k -j +j
-i -i +i +1 -1 -k +k +j -j
+j +j -j -k +k -1 +1 +i -i
-j -j +j +k -k +1 -1 -i +i
+k +k -k +j -j -i +i -1 +1
-k -k +k -j +j +i -i +1 -1

Elements:
order 4: i, -i, j, -j, k, -k
order 2: -1

Subgroups:
order 8: {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}
order 4: {1,i,-1,-i}, {1,j,-1,-j}, {1,k,-1,-k}
order 2: {1,-1}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}
order 4: {1,i,-1,-i}, {1,j,-1,-j}, {1,k,-1,-k}
order 2: {1,-1}
order 1: {1}

x +1 +i -1 -i +j +k -j -k
+1 +1 +i -1 -i +j +k -j -k
+i +i -1 -i +1 +k -j -k +j
-1 -1 -i +1 +i -j -k +j +k
-i -i +1 +i -1 -k +j +k -j
+j +j -k -j +k -1 +i +1 -i
+k +k +j -k -j -i -1 +i +1
-j -j +k +j -k +1 -i -1 +i
-k -k -j +k +j +i +1 -i -1

#### C9, the cyclic group of order 9

Described via the generator a
with relation a9 = 1:

 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 a a3 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 a a2 a4 a4 a5 a6 a7 a8 1 a a2 a3 a5 a5 a6 a7 a8 1 a a2 a3 a4 a6 a6 a7 a8 1 a a2 a3 a4 a5 a7 a7 a8 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a8 a8 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7

Elements:
order 9: a, a2, a4, a5, a6, a7
order 3: a3, a6

Subgroups:
order 9: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7, a8}
order 3: {1,a3,a6}
order 1: {1}

#### C3 x C3, the direct product of two cyclic groups of order 3

Described via the generators a,b
with relations a3 = 1, b3 = 1, ba=ab:

1 a a2 b ab a2b b2 ab2 a2b2
1 1 a a2 b ab a2b b2 ab2 a2b2
a a a2 1 ab a2b b ab2 a2b2 b2
a2 a2 1 a a2b b ab a2b2 b2 ab2
b b ab a2b b2 ab2 a2b2 1 a a2
ab ab a2b b ab2 a2b2 b2 a a2 1
a2b a2b b ab a2b2 b2 ab2 a2 1 a
b2 b2 ab2 a2b2 1 a a2 b ab a2b
ab2 ab2 a2b2 b2 a a2 1 ab a2b b
a2b2 a2b2 b2 ab2 a2 1 a a2b b ab

Elements:
order 3: a, a2, b, ab, a2b, b2, ab2, a2b2

Subgroups:
order 3: {1,a,a2}, {1,b,b2}, {1,ab,a2b2}, {1,a2b,ab2}
order 1: {1}

#### C10, the cyclic group of order 10

Described via the generator a
with relation a10 = 1:

 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a3 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a4 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a5 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a6 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a7 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a8 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a9 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

Elements:
order 10: a, a3, a7, a9
order 5: a2, a4, a6, a8
order 2: a5

Subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7, a8, a9}
order 5: {1,a2,a4, a6,a8}
order 2: {1,a5}
order 1: {1}

#### D5, the dihedral group of order ten

Described via generators a,b
with relations a5 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b
1 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b
a a a2 a3 a4 1 ab a2b a3b a4b b
a2 a2 a3 a4 1 a a2b a3b a4b b ab
a3 a3 a4 1 a a2 a3b a4b b ab a2b
a4 a4 1 a a2 a3 a4b b ab a2b a3b
b b a4b a3b a2b ab 1 a4 a3 a2 a
ab ab b a4b a3b a2b a 1 a4 a3 a2
a2b a2b ab b a4b a3b a2 a 1 a4 a3
a3b a3b a2b ab b a4b a3 a2 a 1 a4
a4b a4b a3b a2b ab b a4 a3 a2 a 1

Elements:
order 5: a, a2, a3, a4
order 2: b, ab, a2b, a3b, a4b

Subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, b,ab,a2b,a3b,a4b}
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 2: {1,b}, {1,ab} {1,a2b}, {1,a3b}, {1,a4b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, b,ab,a2b,a3b,a4b}
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 1: {1}

There are additional group tables at the end of Chapter 7.