Multiplication tables for groups of small order

Groups15 Demo

Professor John Wavrik of the University of California at San Diego has written a JAVA applet that allows experimentation with group multiplication tables, for groups up to order 15.

Multiplication tables for groups of order 2 through 10

The multiplication tables given below cover the groups of order 10 or less. That is, any group of order 2 through 10 is isomorphic to one of the groups given on this page.

C2, the cyclic group of order 2

Described via the generator a
with relation a2 = 1:

1 a
1 1 a
a a 1

Elements:
order 2: a

Subgroups:
order 2: {1,a}
order 1: {1}

C3, the cyclic group of order 3

Described via the generator a
with relation a3 = 1:

1 a a2
1 1 a a2
a a a2 1
a2 a2 1 a

Elements:
order 3: a, a2

Subgroups:
order 3: {1,a,a2}
order 1: {1}

C4, the cyclic group of order 4

Described via the generator a
with relation a4 = 1:

1 a a2 a3
1 1 a a2 a3
a a a2 a3 1
a2 a2 a3 1 a
a3 a3 1 a a2

Elements:
order 4: a, a3
order 2: a2

Subgroups:
order 4: {1,a,a2,a3}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

V, the Klein four group

Described via generators a,b
with relations a2 = 1, b2 = 1, ba = ab:

1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1

Elements:
order 2: a, b, ab

Subgroups:
order 4: {1,a,b,ab}
order 2: {1,a}, {1,b}, {1,ab}
order 1: {1}

C5, the cyclic group of order 5

Described via the generator a
with relation a5 = 1:

1 a a2 a3 a4
1 1 a a2 a3 a4
a a a2 a3 a4 1
a2 a2 a3 a4 1 a
a3 a3 a4 1 a a2
a4 a4 1 a a2 a3

Elements:
order 5: a, a2, a3, a4

Subgroups:
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 1: {1}

C6, the cyclic group of order 6

Described via the generator a
with relation a6 = 1:

1 a a2 a3 a4 a5
1 1 a a2 a3 a4 a5
a a a2 a3 a4 a5 1
a2 a2 a3 a4 a5 1 a
a3 a3 a4 a5 1 a a2
a4 a4 a5 1 a a2 a3
a5 a5 1 a a2 a3 a4

Elements:
order 6: a, a5
order 3: a2, a4
order 2: a3

Subgroups:
order 6: {1,a,a2,a3,a4,a5}
order 3: {1,a2,a4}
order 2: {1,a3}
order 1: {1}

S3, the symmetric group on three elements

Described via generators a,b
with relations a3 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 b ab a2b
1 1 a a2 b ab a2b
a a a2 1 ab a2b b
a2 a2 1 a a2b b ab
b b a2b ab 1 a2 a
ab ab b a2b a 1 a2
a2b a2b ab b a2 a 1

Elements:
order 3: a, a2
order 2: b, ab, a2b

Subgroups:
order 6: {1,a,a2,b,ab,a2b}
order 3: {1,a,a2}
order 2: {1,b}, {1,ab}, {1,a2b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 6: {1,a,a2,b,ab,a2b}
order 3: {1,a,a2}
order 1: {1}

C7, the cyclic group of order 7

Described via the generator a
with relation a7 = 1:

1 a a2 a3 a4 a5 a6
1 1 a a2 a3 a4 a5 a6
a a a2 a3 a4 a5 a6 1
a2 a2 a3 a4 a5 a6 1 a
a3 a3 a4 a5 a6 1 a a2
a4 a4 a5 a6 1 a a2 a3
a5 a5 a6 1 a a2 a3 a4
a6 a6 1 a a2 a3 a4 a5

Elements:
order 7: a, a2, a3, a4, a5, a6

Subgroups:
order 7: {1,a,a2,a3,a4, a5,a6}
order 1: {1}

C8, the cyclic group of order 8

Described via the generator a
with relation a8 = 1:

1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7
1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7
a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 1
a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 a
a3 a3 a4 a5 a6 a7 1 a a2
a4 a4 a5 a6 a7 1 a a2 a3
a5 a5 a6 a7 1 a a2 a3 a4
a6 a6 a7 1 a a2 a3 a4 a5
a7 a7 1 a a2 a3 a4 a5 a6

Elements:
order 8: a, a3, a5, a7
order 4: a2, a6
order 2: a4

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7}
order 4: {1,a2,a4,a6}
order 2: {1,a4}
order 1: {1}

C4 x C2, the direct product of a cyclic group of order 4 and a cyclic group of order 2

Described via generators a, b
with relations a4 = 1, b2 = 1, ba = ab:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b ab a2b a3b 1 a a2 a3
ab ab a2b a3b b a a2 a3 1
a2b a2b a3b b ab a2 a3 1 a
a3b a3b b ab a2b a3 1 a a2

Elements:
order 4: a, a3, ab, a3b
order 2: a2, b, a2b
order 1: 1

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a,a2,a3} {1,ab,a2,a3b} {1,a2,b,a2b}
order 2: {1,a2}, {1,b}, {1,a2b}
order 1: {1}

C2 x C2 x C2, the direct product of 3 cyclic groups of order 2

Described via generators a,b,c
with relations a2 = 1, b2 = 1, c2 = 1, ba = ab, ca = ac, cb = bc:

1 a b ab c ac bc abc
1 1 a b ab c ac bc abc
a a 1 ab b ac c abc bc
b b ab 1 a bc abc c ac
ab ab b a 1 abc bc ac c
c c ac bc abc 1 a b ab
ac ac c abc bc a 1 ab b
bc bc abc c ac b ab 1 a
abc abc bc ac c ab b a 1

Elements:
order 2: a, b, ab, c, ac, bc, abc

Subgroups:
order 8: { 1, a, b, ab, c, ac, bc, abc }
order 4: {1,a,b,ab}, {1,a,c,ac}, {1,a,bc,abc}, {1,b,c,bc}, {1,b,ac,abc}, {1,ab,c,abc}, {1,ab,ac,bc}
order 2: {1,a}, {1,b}, {1,ab}, {1,c}, {1,ac}, {1,bc}, {1,abc}
order 1: {1}

D4, the dihedral group of order eight

Described via generators a,b
with relations a4 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b a3b a2b ab 1 a3 a2 a
ab ab b a3b a2b a 1 a3 a2
a2b a2b ab b a3b a2 a 1 a3
a3b a3b a2b ab b a3 a2 a 1

Elements:
order 4: a, a3
order 2: a2, b, ab, a2b, a3b

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a2,b,a2b}, {1,a,a2,a3}, {1,a2,ab,a3b}
order 2: {1,b}, {1,a2b}, {1,a2}, {1,ab}, {1,a3b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3, b,ab,a2b,a3b}
order 4: {1,a2,b,a2b}, {1,a,a2,a3}, {1,a2,ab,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

Here

Q, the quaternion group (of order eight)

Described via the generators a,b
with relations a4 = 1, b2 = a2, ba = a-1b:

1 a a2 a3 b ab a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b a3b a2b ab a2 a 1 a3
ab ab b a3b a2b a3 a2 a 1
a2b a2b ab b a3b 1 a3 a2 a
a3b a3b a2b ab b a 1 a3 a2

Elements:
order 4: a, a3, b, ab, a2b, a3b
order 2: a2

Subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,b,ab,a2b,a3}
order 4: {1,a,a2,a3}, {1,b,a2,a2b}, {1,ab,a2,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,a,a2,a3,b,ab,a2b,a3}
order 4: {1,a,a2,a3}, {1,b,a2,a2b}, {1,ab,a2,a3b}
order 2: {1,a2}
order 1: {1}

Here are several different patterns for the multiplication table of the quaternion group, using the cross product of unit vectors i, j, k:

x +1 -1 +i -i +j -j +k -k
+1 +1 -1 +i -i +j -j +k -k
-1 -1 +1 -i +i -j +j -k +k
+i +i -i -1 +1 +k -k -j +j
-i -i +i +1 -1 -k +k +j -j
+j +j -j -k +k -1 +1 +i -i
-j -j +j +k -k +1 -1 -i +i
+k +k -k +j -j -i +i -1 +1
-k -k +k -j +j +i -i +1 -1

Elements:
order 4: i, -i, j, -j, k, -k
order 2: -1

Subgroups:
order 8: {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}
order 4: {1,i,-1,-i}, {1,j,-1,-j}, {1,k,-1,-k}
order 2: {1,-1}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 8: {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}
order 4: {1,i,-1,-i}, {1,j,-1,-j}, {1,k,-1,-k}
order 2: {1,-1}
order 1: {1}

x +1 +i -1 -i +j +k -j -k
+1 +1 +i -1 -i +j +k -j -k
+i +i -1 -i +1 +k -j -k +j
-1 -1 -i +1 +i -j -k +j +k
-i -i +1 +i -1 -k +j +k -j
+j +j -k -j +k -1 +i +1 -i
+k +k +j -k -j -i -1 +i +1
-j -j +k +j -k +1 -i -1 +i
-k -k -j +k +j +i +1 -i -1

C9, the cyclic group of order 9

Described via the generator a
with relation a9 = 1:

1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1
a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 a
a3 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 a a2
a4 a4 a5 a6 a7 a8 1 a a2 a3
a5 a5 a6 a7 a8 1 a a2 a3 a4
a6 a6 a7 a8 1 a a2 a3 a4 a5
a7 a7 a8 1 a a2 a3 a4 a5 a6
a8 a8 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7

Elements:
order 9: a, a2, a4, a5, a6, a7
order 3: a3, a6

Subgroups:
order 9: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7, a8}
order 3: {1,a3,a6}
order 1: {1}

C3 x C3, the direct product of two cyclic groups of order 3

Described via the generators a,b
with relations a3 = 1, b3 = 1, ba=ab:

1 a a2 b ab a2b b2 ab2 a2b2
1 1 a a2 b ab a2b b2 ab2 a2b2
a a a2 1 ab a2b b ab2 a2b2 b2
a2 a2 1 a a2b b ab a2b2 b2 ab2
b b ab a2b b2 ab2 a2b2 1 a a2
ab ab a2b b ab2 a2b2 b2 a a2 1
a2b a2b b ab a2b2 b2 ab2 a2 1 a
b2 b2 ab2 a2b2 1 a a2 b ab a2b
ab2 ab2 a2b2 b2 a a2 1 ab a2b b
a2b2 a2b2 b2 ab2 a2 1 a a2b b ab

Elements:
order 3: a, a2, b, ab, a2b, b2, ab2, a2b2

Subgroups:
order 3: {1,a,a2}, {1,b,b2}, {1,ab,a2b2}, {1,a2b,ab2}
order 1: {1}

C10, the cyclic group of order 10

Described via the generator a
with relation a10 = 1:

1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
1 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1
a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a
a3 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2
a4 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3
a5 a5 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4
a6 a6 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5
a7 a7 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6
a8 a8 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7
a9 a9 1 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

Elements:
order 10: a, a3, a7, a9
order 5: a2, a4, a6, a8
order 2: a5

Subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, a5, a6, a7, a8, a9}
order 5: {1,a2,a4, a6,a8}
order 2: {1,a5}
order 1: {1}

D5, the dihedral group of order ten

Described via generators a,b
with relations a5 = 1, b2 = 1, ba = a-1b:

1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b
1 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b
a a a2 a3 a4 1 ab a2b a3b a4b b
a2 a2 a3 a4 1 a a2b a3b a4b b ab
a3 a3 a4 1 a a2 a3b a4b b ab a2b
a4 a4 1 a a2 a3 a4b b ab a2b a3b
b b a4b a3b a2b ab 1 a4 a3 a2 a
ab ab b a4b a3b a2b a 1 a4 a3 a2
a2b a2b ab b a4b a3b a2 a 1 a4 a3
a3b a3b a2b ab b a4b a3 a2 a 1 a4
a4b a4b a3b a2b ab b a4 a3 a2 a 1

Elements:
order 5: a, a2, a3, a4
order 2: b, ab, a2b, a3b, a4b

Subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, b,ab,a2b,a3b,a4b}
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 2: {1,b}, {1,ab} {1,a2b}, {1,a3b}, {1,a4b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 10: {1,a,a2,a3,a4, b,ab,a2b,a3b,a4b}
order 5: {1,a,a2,a3,a4}
order 1: {1}

You can find more group tables as a part of Abstract Algebra OnLine.